In questa quinta parte viene spiegato come ottenere il sistema di 8 numeri in 14 quartine e di 12 numeri in 57 quartine, entrambi a garanzia di 1 terno con 3 numeri esatti. Nel primo sistema tutti i terni sono presenti una sola volta, nessuno escluso e nessuno ripetuto, mentre nel secondo sistema tutti i terni sono presenti una sola volta ad eccezione di quattro terni presenti tre volte e la cui ripetizione è ineliminabile.
8 NUMERI 14 QUARTINE - GARANZIA DI 1 TERNO CON 3 NUMERI ESATTI
Suddividere gli 8 numeri in 2 sezioni rispettivamente di 4 numeri ciascuna. Utilizzare le 6 coppie che si formano con i primi 4 numeri ovvero 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4, ed inserirle in 3 gruppi (A1-B1-C1); utilizzare le 6 coppie che si formano con i secondi 4 numeri ovvero 5-6, 5-7, 5-8, 6-7, 6-8, 7-8, ed inserirle in 3 gruppi (A2-B2-C2). Ogni gruppo è composto da 2 coppie senza numeri in comune tra di loro e senza ripetizioni o esclusioni di coppie, come riportato di seguito:
Moltiplicare le 2 coppie del gruppo A1 con le 2 coppie del gruppo A2, moltiplicare le 2 coppie del gruppo B1 con le 2 coppie del gruppo B2, moltiplicare le 2 coppie del gruppo C1 con le 2 coppie del gruppo C2, ottenendo le seguenti 12 quartine aventi massimo due numeri in comune tra di loro (condizione fondamentale per i sistemi ortogonali a garanzia di 1 terno):
In sistemistica con il termine "moltiplicazione" si intende l'unione di due o più serie numeriche tra di loro in tutte le possibili combinazioni. Ad esempio: la moltiplicazione dei gruppi A1-A2 è data dall'unione della coppia 1-2 con le coppie 5-6 / 7-8 e dall'unione della coppia 3-4 con le coppie 5-6 / 7-8.
Le 12 quartine permettono la copertura dei terni di incrocio delle due sezioni. A questo punto occorre aggiungere la quartina 01 02 03 04 per la copertura dei terni di sezione della prima sezione e la quartina 05 06 07 08 per la copertura dei terni di sezione della seconda sezione.
12 NUMERI 57 QUARTINE - GARANZIA DI 1 TERNO CON 3 NUMERI ESATTI
Suddividere i 12 numeri in 2 sezioni rispettivamente di 6 numeri ciascuna. Utilizzare le 15 coppie che si formano con i primi 6 numeri ovvero 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-4, 3-5, 3-6, 4-5, 4-6, 5-6, ed inserirle in 5 gruppi (A1-B1-C1-D1-E1); utilizzare le 15 coppie che si formano con i secondi 6 numeri ovvero 7-8, 7-9, 7-10, 7-11, 7-12, 8-9, 8-10, 8-11, 8-12, 9-10, 9-11, 9-12, 10-11, 10-12, 11-12, ed inserirle in 5 gruppi (A2-B2-C2-D2-E2). Ogni gruppo è composto da 3 coppie senza numeri in comune tra di loro e senza ripetizioni o esclusioni di coppie, come riportato di seguito:
Moltiplicare le 3 coppie del gruppo A1 con le 3 coppie del gruppo A2, moltiplicare le 3 coppie del gruppo B1 con le 3 coppie del gruppo B2, moltiplicare le 3 coppie del gruppo C1 con le 3 coppie del gruppo C2, moltiplicare le 3 coppie del gruppo D1 con le 3 coppie del gruppo D2, moltiplicare le 3 coppie del gruppo E1 con le 3 coppie del gruppo E2, ottenendo le seguenti 45 quartine aventi massimo due numeri in comune tra di loro (condizione fondamentale per i sistemi ortogonali a garanzia di 1 terno):
Le 45 quartine permettono la copertura dei terni di incrocio delle due sezioni. A questo punto occorre aggiungere le 6 quartine a garanzia di 1 terno con 3 numeri esatti su 6 numeri sviluppate da 1 a 6 per la copertura dei terni di sezione della prima sezione e da 7 a 12 per la copertura dei terni di sezione della seconda sezione. Una possibile soluzione è la seguente: 01 02 03 05, 01 02 04 06, 01 03 04 05, 01 03 05 06, 02 03 04 06, 02 04 05 06 (prima sezione) e 07 08 09 11, 07 08 10 12, 07 09 10 11, 07 09 11 12, 08 09 10 12, 08 10 11 12 (seconda sezione). Data la ripetizione dei terni 01 03 05, 02 04 06, 07 09 11, 08 10 12 presenti tre volte si deduce che il sistema di 12 numeri in 57 quartine non può essere ortogonale.
Per ottenere l'ortogonalità, rinunciando però alla simmetria dello sviluppo, abbiamo sostanzialmente una soluzione che consiste nell'aggiungere alle 45 quartine la sestina 01 02 03 04 05 06 della prima sezione e la sestina 07 08 09 10 11 12 della seconda sezione creando un sistema misto di 45 quartine + 2 sestine.
8 NUMERI 14 QUARTINE - GARANZIA DI 1 TERNO CON 3 NUMERI ESATTI
Suddividere gli 8 numeri in 2 sezioni rispettivamente di 4 numeri ciascuna. Utilizzare le 6 coppie che si formano con i primi 4 numeri ovvero 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4, ed inserirle in 3 gruppi (A1-B1-C1); utilizzare le 6 coppie che si formano con i secondi 4 numeri ovvero 5-6, 5-7, 5-8, 6-7, 6-8, 7-8, ed inserirle in 3 gruppi (A2-B2-C2). Ogni gruppo è composto da 2 coppie senza numeri in comune tra di loro e senza ripetizioni o esclusioni di coppie, come riportato di seguito:
A1 | B1 | C1 |
01 02 | 01 03 | 01 04 |
03 04 | 02 04 | 02 03 |
A2 | B2 | C2 |
05 06 | 05 07 | 05 08 |
07 08 | 06 08 | 06 07 |
01 02 05 06
01 02 07 08
03 04 05 06
03 04 07 08
01 03 05 07
01 03 06 08
02 04 05 07
02 04 06 08
01 04 05 08
01 04 06 07
02 03 05 08
02 03 06 07
+
01 02 03 04
05 06 07 08
01 02 07 08
03 04 05 06
03 04 07 08
01 03 05 07
01 03 06 08
02 04 05 07
02 04 06 08
01 04 05 08
01 04 06 07
02 03 05 08
02 03 06 07
+
01 02 03 04
05 06 07 08
In sistemistica con il termine "moltiplicazione" si intende l'unione di due o più serie numeriche tra di loro in tutte le possibili combinazioni. Ad esempio: la moltiplicazione dei gruppi A1-A2 è data dall'unione della coppia 1-2 con le coppie 5-6 / 7-8 e dall'unione della coppia 3-4 con le coppie 5-6 / 7-8.
Le 12 quartine permettono la copertura dei terni di incrocio delle due sezioni. A questo punto occorre aggiungere la quartina 01 02 03 04 per la copertura dei terni di sezione della prima sezione e la quartina 05 06 07 08 per la copertura dei terni di sezione della seconda sezione.
12 NUMERI 57 QUARTINE - GARANZIA DI 1 TERNO CON 3 NUMERI ESATTI
Suddividere i 12 numeri in 2 sezioni rispettivamente di 6 numeri ciascuna. Utilizzare le 15 coppie che si formano con i primi 6 numeri ovvero 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-4, 3-5, 3-6, 4-5, 4-6, 5-6, ed inserirle in 5 gruppi (A1-B1-C1-D1-E1); utilizzare le 15 coppie che si formano con i secondi 6 numeri ovvero 7-8, 7-9, 7-10, 7-11, 7-12, 8-9, 8-10, 8-11, 8-12, 9-10, 9-11, 9-12, 10-11, 10-12, 11-12, ed inserirle in 5 gruppi (A2-B2-C2-D2-E2). Ogni gruppo è composto da 3 coppie senza numeri in comune tra di loro e senza ripetizioni o esclusioni di coppie, come riportato di seguito:
A1 | B1 | C1 | D1 | E1 |
01 02 | 01 03 | 01 04 | 01 05 | 01 06 |
03 04 | 02 05 | 02 06 | 02 04 | 02 03 |
05 06 | 04 06 | 03 05 | 03 06 | 04 05 |
A2 | B2 | C2 | D2 | E2 |
07 08 | 07 09 | 07 10 | 07 11 | 07 12 |
09 10 | 08 11 | 08 12 | 08 10 | 08 09 |
11 12 | 10 12 | 09 11 | 09 12 | 10 11 |
01 02 07 08
01 02 09 10
01 02 11 12
03 04 07 08
03 04 09 10
03 04 11 12
05 06 07 08
05 06 09 10
05 06 11 12
01 03 07 09
01 03 08 11
01 03 10 12
02 05 07 09
02 05 08 11
02 05 10 12
04 06 07 09
04 06 08 11
04 06 10 12
01 04 07 10
01 04 08 12
01 04 09 11
02 06 07 10
02 06 08 12
02 06 09 11
03 05 07 10
03 05 08 12
03 05 09 11
01 05 07 11
01 05 08 10
01 05 09 12
02 04 07 11
02 04 08 10
02 04 09 12
03 06 07 11
03 06 08 10
03 06 09 12
01 06 07 12
01 06 08 09
01 06 10 11
02 03 07 12
02 03 08 09
02 03 10 11
04 05 07 12
04 05 08 09
04 05 10 11
+
01 02 03 05
01 02 04 06
01 03 04 05
01 03 05 06
02 03 04 06
02 04 05 06
07 08 09 11
07 08 10 12
07 09 10 11
07 09 11 12
08 09 10 12
08 10 11 12
01 02 09 10
01 02 11 12
03 04 07 08
03 04 09 10
03 04 11 12
05 06 07 08
05 06 09 10
05 06 11 12
01 03 07 09
01 03 08 11
01 03 10 12
02 05 07 09
02 05 08 11
02 05 10 12
04 06 07 09
04 06 08 11
04 06 10 12
01 04 07 10
01 04 08 12
01 04 09 11
02 06 07 10
02 06 08 12
02 06 09 11
03 05 07 10
03 05 08 12
03 05 09 11
01 05 07 11
01 05 08 10
01 05 09 12
02 04 07 11
02 04 08 10
02 04 09 12
03 06 07 11
03 06 08 10
03 06 09 12
01 06 07 12
01 06 08 09
01 06 10 11
02 03 07 12
02 03 08 09
02 03 10 11
04 05 07 12
04 05 08 09
04 05 10 11
+
01 02 03 05
01 02 04 06
01 03 04 05
01 03 05 06
02 03 04 06
02 04 05 06
07 08 09 11
07 08 10 12
07 09 10 11
07 09 11 12
08 09 10 12
08 10 11 12
Le 45 quartine permettono la copertura dei terni di incrocio delle due sezioni. A questo punto occorre aggiungere le 6 quartine a garanzia di 1 terno con 3 numeri esatti su 6 numeri sviluppate da 1 a 6 per la copertura dei terni di sezione della prima sezione e da 7 a 12 per la copertura dei terni di sezione della seconda sezione. Una possibile soluzione è la seguente: 01 02 03 05, 01 02 04 06, 01 03 04 05, 01 03 05 06, 02 03 04 06, 02 04 05 06 (prima sezione) e 07 08 09 11, 07 08 10 12, 07 09 10 11, 07 09 11 12, 08 09 10 12, 08 10 11 12 (seconda sezione). Data la ripetizione dei terni 01 03 05, 02 04 06, 07 09 11, 08 10 12 presenti tre volte si deduce che il sistema di 12 numeri in 57 quartine non può essere ortogonale.
Per ottenere l'ortogonalità, rinunciando però alla simmetria dello sviluppo, abbiamo sostanzialmente una soluzione che consiste nell'aggiungere alle 45 quartine la sestina 01 02 03 04 05 06 della prima sezione e la sestina 07 08 09 10 11 12 della seconda sezione creando un sistema misto di 45 quartine + 2 sestine.