In questa quarta parte viene spiegato il motivo per cui tutti i sistemi appartenenti alla formula v = 6k + 1 sono ricavabili con una o più testate a ciclo totale e non necessitano di almeno una testata a ciclo parziale come avviene, invece, per tutti i sistemi appartenenti alla formula v = 6k + 3.
Abbiamo detto che ogni testata composta da una terzina genera 6 possibili differenze (comprese quelle complementari) tra i 3 ambi della terzina stessa. Appare evidente che soltanto le masse numeriche riferite alla formula v = 6k + 1 diminuite di un numero cioè le masse numeriche riferite alla formula v = 6k sono perfettamente divisibili per 6. Ad esempio, il sistema di 7 numeri in 7 terzine ha 7-1 = 6 differenze e quindi realizzabile con 6:6 = 1 testata a ciclo totale, il sistema di 13 numeri in 26 terzine ha 13-1 = 12 differenze e quindi realizzabile con 12:6 = 2 testate a ciclo totale, il sistema di 19 numeri in 57 terzine ha 19-1 = 18 differenze e quindi realizzabile con 18:6 = 3 testate a ciclo totale, il sistema di 25 numeri in 100 terzine ha 25-1 = 24 differenze e quindi realizzabile con 24:6 = 4 testate a ciclo totale e così via.
La tabella riportata di seguito indica la quantità di differenze possibili (comprese quelle complementari) e la quantità di testate a ciclo totale necessarie per ogni sistema appartenente alla formula v = 6k + 1:
I sistemi appartenenti alla formula v = 6k + 3, proprio per controbilanciare la non divisibilità per 6 delle masse numeriche diminuite di un numero cioè delle masse numeriche riferite alla formula v = 6k + 2, necessitano sempre di una "particolare" testata a ciclo parziale composta da una terzina avente due sole differenze (complementari a se stesse) qualora il sistema sia realizzabile con le restanti testate a ciclo parziale oppure di una "particolare" testata a ciclo parziale composta da una terzina avente due differenze uguali e una complementare qualora il sistema sia realizzabile con le restanti testate a ciclo totale.
Per meglio capire questo concetto riprendiamo i due esempi proposti nella terza parte ovvero 9 numeri in 12 terzine e 15 numeri in 35 terzine. Dato che il sistema di 9 numeri necessita della testata a ciclo parziale 1-2-4 bisogna aggiungere la "particolare" testata 1-5-(9) avente due differenze che scaturiscono dall'ambo 1-5 ovvero 4 e dal suo complementare 5 (il numero indicato tra parentesi, essendo un numero fisso e non in progressione, non conta ai fini delle differenze). Dato che il sistema di 15 numeri necessita delle testate a ciclo totale 1-2-5 e 1-3-9 bisogna aggiungere la "particolare" testata 1-6-11 avente due differenze uguali che scaturiscono dall'ambo 1-6 ovvero 5 e dell'ambo 6-11 ovvero 5 e da una differenza complementare che scaturisce dall'ambo 1-11 ovvero 10.
La tabella riportata di seguito indica la quantità di differenze possibili (comprese quelle complementari) e la quantità di testate necessarie per ogni sistema appartenente alla formula v = 6k + 3:
Un'ultima annotazione tecnica riguarda il sistema di 9 numeri in 12 terzine ma da considerarsi valida anche per altri sistemi aventi una "particolare" testata a ciclo parziale formata da un numero fisso. Come già detto nella terza parte la testata 1-2-4 deve essere sviluppata con un ciclo da 1 a 8 ovvero su una massa di 8 numeri. Le differenze possibili e le rispettive differenze complementari sono 1 e 7 = 8, 2 e 6 = 8, 3 e 5 = 8; la differenza 4 non ha un complementare e quindi rimane completamente "isolata".
La testata 1-2-4 copre le differenze 1, 2, 3 e le rispettive differenze complementari 7, 6, 5 limitatamente a 8 numeri per cui è come avere un sistema di 8 numeri in 8 terzine a copertura di 24 ambi su 28 possibili. Resta "scoperta" soltanto la differenza 4 che può essere annullata sviluppando in progressione l'ambo 1-5 ottenendo gli altri tre ambi possibili con differenza 4 ovvero 2-6, 3-7, 4-8. Questi 4 ambi sono proprio quelli mancanti dal sistema di 8 numeri per cui è fattibile la realizzazione di un sistema di 8 numeri, ortogonale per ambo a sviluppo misto, composto da 4 ambi e 8 terzine. Aggiungendo il numero fisso 9 ai 4 ambi (che hanno tutti i numeri diversi) si ottiene proprio il sistema di 9 numeri in 12 terzine.
Molti anni fa sulla rivista "Il Corriere Dei Giochi" il grande Giuseppe De Martino pubblicò tutte le testate a sviluppo ciclico per i sistemi appartenenti alle note formule v = 6k + 1 e v = 6k + 3. Lo stesso De Martino dichiarò di avere adottato uno specifico metodo per ottenere le testate che, da quanto mi risulta (possiedo solo una parte di tali riviste), non venne mai rivelato. Dopo alcune ricerche personali sono riuscito a risalire al metodo utilizzato, ma per rispetto dell'autore originario ritengo di non doverlo divulgare.
Abbiamo detto che ogni testata composta da una terzina genera 6 possibili differenze (comprese quelle complementari) tra i 3 ambi della terzina stessa. Appare evidente che soltanto le masse numeriche riferite alla formula v = 6k + 1 diminuite di un numero cioè le masse numeriche riferite alla formula v = 6k sono perfettamente divisibili per 6. Ad esempio, il sistema di 7 numeri in 7 terzine ha 7-1 = 6 differenze e quindi realizzabile con 6:6 = 1 testata a ciclo totale, il sistema di 13 numeri in 26 terzine ha 13-1 = 12 differenze e quindi realizzabile con 12:6 = 2 testate a ciclo totale, il sistema di 19 numeri in 57 terzine ha 19-1 = 18 differenze e quindi realizzabile con 18:6 = 3 testate a ciclo totale, il sistema di 25 numeri in 100 terzine ha 25-1 = 24 differenze e quindi realizzabile con 24:6 = 4 testate a ciclo totale e così via.
La tabella riportata di seguito indica la quantità di differenze possibili (comprese quelle complementari) e la quantità di testate a ciclo totale necessarie per ogni sistema appartenente alla formula v = 6k + 1:
NUMERI | TERZINE | DIFFERENZE | TESTATE |
7 | 7 | 6 | 1 |
13 | 26 | 12 | 2 |
19 | 57 | 18 | 3 |
25 | 100 | 24 | 4 |
31 | 155 | 30 | 5 |
37 | 222 | 36 | 6 |
43 | 301 | 42 | 7 |
49 | 392 | 48 | 8 |
55 | 495 | 54 | 9 |
61 | 610 | 60 | 10 |
67 | 737 | 66 | 11 |
73 | 876 | 72 | 12 |
79 | 1027 | 78 | 13 |
85 | 1190 | 84 | 14 |
Per meglio capire questo concetto riprendiamo i due esempi proposti nella terza parte ovvero 9 numeri in 12 terzine e 15 numeri in 35 terzine. Dato che il sistema di 9 numeri necessita della testata a ciclo parziale 1-2-4 bisogna aggiungere la "particolare" testata 1-5-(9) avente due differenze che scaturiscono dall'ambo 1-5 ovvero 4 e dal suo complementare 5 (il numero indicato tra parentesi, essendo un numero fisso e non in progressione, non conta ai fini delle differenze). Dato che il sistema di 15 numeri necessita delle testate a ciclo totale 1-2-5 e 1-3-9 bisogna aggiungere la "particolare" testata 1-6-11 avente due differenze uguali che scaturiscono dall'ambo 1-6 ovvero 5 e dell'ambo 6-11 ovvero 5 e da una differenza complementare che scaturisce dall'ambo 1-11 ovvero 10.
La tabella riportata di seguito indica la quantità di differenze possibili (comprese quelle complementari) e la quantità di testate necessarie per ogni sistema appartenente alla formula v = 6k + 3:
NUMERI | TERZINE | DIFFERENZE | TESTATE |
9 | 12 | 8 | 2 |
15 | 35 | 14 | 3 |
21 | 70 | 20 | 4 |
27 | 117 | 26 | 5 |
33 | 176 | 32 | 6 |
39 | 247 | 38 | 7 |
45 | 330 | 44 | 8 |
51 | 425 | 50 | 9 |
57 | 532 | 56 | 10 |
63 | 651 | 62 | 11 |
69 | 782 | 68 | 12 |
75 | 925 | 74 | 13 |
81 | 1080 | 80 | 14 |
87 | 1247 | 86 | 15 |
La testata 1-2-4 copre le differenze 1, 2, 3 e le rispettive differenze complementari 7, 6, 5 limitatamente a 8 numeri per cui è come avere un sistema di 8 numeri in 8 terzine a copertura di 24 ambi su 28 possibili. Resta "scoperta" soltanto la differenza 4 che può essere annullata sviluppando in progressione l'ambo 1-5 ottenendo gli altri tre ambi possibili con differenza 4 ovvero 2-6, 3-7, 4-8. Questi 4 ambi sono proprio quelli mancanti dal sistema di 8 numeri per cui è fattibile la realizzazione di un sistema di 8 numeri, ortogonale per ambo a sviluppo misto, composto da 4 ambi e 8 terzine. Aggiungendo il numero fisso 9 ai 4 ambi (che hanno tutti i numeri diversi) si ottiene proprio il sistema di 9 numeri in 12 terzine.
Molti anni fa sulla rivista "Il Corriere Dei Giochi" il grande Giuseppe De Martino pubblicò tutte le testate a sviluppo ciclico per i sistemi appartenenti alle note formule v = 6k + 1 e v = 6k + 3. Lo stesso De Martino dichiarò di avere adottato uno specifico metodo per ottenere le testate che, da quanto mi risulta (possiedo solo una parte di tali riviste), non venne mai rivelato. Dopo alcune ricerche personali sono riuscito a risalire al metodo utilizzato, ma per rispetto dell'autore originario ritengo di non doverlo divulgare.