In questa seconda parte viene spiegato il meccanismo delle 'testate a ciclo parziale' cioè di quelle testate le cui combinazioni sono inferiori alla massa numerica. In determinati casi esse si rendono necessarie per alcuni sistemi non ricavabili con testate a ciclo totale oppure per "chiudere" ai fini della garanzia di vincita un sistema ricavabile con testate a ciclo totale. Possono suddividersi in due tipologie: testate aventi tutti i numeri in progressione ciclica e testate aventi un numero fisso e gli altri in progressione ciclica. Anche per le testate a ciclo parziale esistono varie soluzioni con le quali realizzare un determinato sistema.
Vediamo un esempio riferito al noto sistema di 9 numeri in 12 terzine a garanzia ortogonale di 1 ambo con due numeri esatti realizzabile con due testate a ciclo parziale: la prima testata 1-2-4 avente tutti i numeri sviluppati in progressione considerando un ciclo da 1 a 8 corrispondente alla massa numerica diminuita di un numero e la seconda testata 1-5-(9) formata dalla metà delle combinazioni rispetto alla prima testata ed avente due numeri sviluppati in progressione ovvero 1-5 e un numero fisso indicato tra parentesi ovvero 9:
Si noti come, nella testata a ciclo parziale con numero fisso, si avrebbe ripetitività della combinazione 1-5-9 qualora si volesse continuare la progressione. Ecco perché non è possibile andare oltre tale limite.
Proseguiamo con un altro esempio riferito al noto sistema di 15 numeri in 35 terzine a garanzia ortogonale di 1 ambo con due numeri esatti realizzabile con due testate a ciclo totale e una testata a ciclo parziale: le prime due testate 1-2-5 e 1-3-9 aventi tutti i numeri sviluppati in progressione considerando un ciclo da 1 a 15 corrispondente alla massa numerica e la terza testata 1-6-11 formata da un terzo delle combinazioni rispetto alle prime due testate ed avente tutti i numeri sviluppati in progressione:
Anche per questo sistema si avrebbe, nella testata a ciclo parziale, ripetitività della combinazione 1-6-11 qualora si volesse continuare la progressione. Ecco perché non è possibile andare oltre tale limite.
Ma come si può stabilire a priori quali sono i sistemi realizzabili con sole testate a ciclo totale e quali sono i sistemi che invece necessitano anche di testate a ciclo parziale oppure unicamente di testate a ciclo parziale? Riferendoci ai sistemi Steiner (vedi specifico argomento) possiamo affermare quanto segue:
a) tutti i sistemi appartenenti alla formula v = 6k + 1 sono ricavabili con una o più testate a ciclo totale;
b) i sistemi appartenenti alla formula v = 6k + 3 sono ricavabili con due o più testate a ciclo totale ed una testata a ciclo parziale (vedi sistema di 15 numeri) oppure, laddove non sia possibile a livello matematico, con due o più testate a ciclo parziale di cui una avente un numero fisso (vedi sistema di 9 numeri).
Per qualsiasi altro sistema non appartenente alle due suddette formule bisogna valutare caso per caso. In conclusione le domande che sorgono spontanee sono le seguenti: come si ottengono le testate, quante ne sono necessarie per un sistema e perché alcuni sistemi sono realizzabili con testate a ciclo totale ed altri con testate a ciclo parziale? Tutto ciò ed altro ancora sarà spiegato nella terza parte e nella quarta parte.
Vediamo un esempio riferito al noto sistema di 9 numeri in 12 terzine a garanzia ortogonale di 1 ambo con due numeri esatti realizzabile con due testate a ciclo parziale: la prima testata 1-2-4 avente tutti i numeri sviluppati in progressione considerando un ciclo da 1 a 8 corrispondente alla massa numerica diminuita di un numero e la seconda testata 1-5-(9) formata dalla metà delle combinazioni rispetto alla prima testata ed avente due numeri sviluppati in progressione ovvero 1-5 e un numero fisso indicato tra parentesi ovvero 9:
01 02 04
02 03 05
03 04 06
04 05 07
05 06 08
06 07 01
07 08 02
08 01 03
01 05 09
02 06 09
03 07 09
04 08 09
02 03 05
03 04 06
04 05 07
05 06 08
06 07 01
07 08 02
08 01 03
01 05 09
02 06 09
03 07 09
04 08 09
Si noti come, nella testata a ciclo parziale con numero fisso, si avrebbe ripetitività della combinazione 1-5-9 qualora si volesse continuare la progressione. Ecco perché non è possibile andare oltre tale limite.
Proseguiamo con un altro esempio riferito al noto sistema di 15 numeri in 35 terzine a garanzia ortogonale di 1 ambo con due numeri esatti realizzabile con due testate a ciclo totale e una testata a ciclo parziale: le prime due testate 1-2-5 e 1-3-9 aventi tutti i numeri sviluppati in progressione considerando un ciclo da 1 a 15 corrispondente alla massa numerica e la terza testata 1-6-11 formata da un terzo delle combinazioni rispetto alle prime due testate ed avente tutti i numeri sviluppati in progressione:
01 02 05
02 03 06
03 04 07
04 05 08
05 06 09
06 07 10
07 08 11
08 09 12
09 10 13
10 11 14
11 12 15
12 13 01
13 14 02
14 15 03
15 01 04
01 03 09
02 04 10
03 05 11
04 06 12
05 07 13
06 08 14
07 09 15
08 10 01
09 11 02
10 12 03
11 13 04
12 14 05
13 15 06
14 01 07
15 02 08
01 06 11
02 07 12
03 08 13
04 09 14
05 10 15
02 03 06
03 04 07
04 05 08
05 06 09
06 07 10
07 08 11
08 09 12
09 10 13
10 11 14
11 12 15
12 13 01
13 14 02
14 15 03
15 01 04
01 03 09
02 04 10
03 05 11
04 06 12
05 07 13
06 08 14
07 09 15
08 10 01
09 11 02
10 12 03
11 13 04
12 14 05
13 15 06
14 01 07
15 02 08
01 06 11
02 07 12
03 08 13
04 09 14
05 10 15
Anche per questo sistema si avrebbe, nella testata a ciclo parziale, ripetitività della combinazione 1-6-11 qualora si volesse continuare la progressione. Ecco perché non è possibile andare oltre tale limite.
Ma come si può stabilire a priori quali sono i sistemi realizzabili con sole testate a ciclo totale e quali sono i sistemi che invece necessitano anche di testate a ciclo parziale oppure unicamente di testate a ciclo parziale? Riferendoci ai sistemi Steiner (vedi specifico argomento) possiamo affermare quanto segue:
a) tutti i sistemi appartenenti alla formula v = 6k + 1 sono ricavabili con una o più testate a ciclo totale;
b) i sistemi appartenenti alla formula v = 6k + 3 sono ricavabili con due o più testate a ciclo totale ed una testata a ciclo parziale (vedi sistema di 15 numeri) oppure, laddove non sia possibile a livello matematico, con due o più testate a ciclo parziale di cui una avente un numero fisso (vedi sistema di 9 numeri).
Per qualsiasi altro sistema non appartenente alle due suddette formule bisogna valutare caso per caso. In conclusione le domande che sorgono spontanee sono le seguenti: come si ottengono le testate, quante ne sono necessarie per un sistema e perché alcuni sistemi sono realizzabili con testate a ciclo totale ed altri con testate a ciclo parziale? Tutto ciò ed altro ancora sarà spiegato nella terza parte e nella quarta parte.
